Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点F在BA的延长线上，FD=FC，点E是AC与DF的交点，且ED=EF，FG∥BC交CA的延长线于点G．
（1）∠BFD=∠GCF吗？说明理由；
（2）求证：△GEF≌△CED；
（3）求证：BD=DC．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，可知∠B=∠BCA，由FD=FC，可知∠FDC=∠DCF，根据三角形外角关系和等式性质证明结论；
（2）由FG∥BC，可知∠GFE=∠CDE，根据ASA可证明结论；
（3）先证明∠B=∠G，可根据AAS证明△GFC≌△BDF，则GF=DC，根据△GEF≌△CED，可知GF=CD，等量代换可得结论．

解答 证明：（1）∠BFD=∠GCF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵FD=FC，
∴∠FDC=∠DCF，
∵∠BFD=∠FDC-∠B，
∠GCF=∠DCF-∠BCA，
∴∠BFD=∠GCF；
（2）∵FG∥BC，
∴∠GFE=∠CDE，
在△GEF和△CED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GFE=∠CDE}\\{ED=EF}\\{∠FEG=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△CED
（3）∵FG∥BC
∴∠G=∠BCA
∵∠B=BCA
∴∠B=∠G
在△GFC和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}\\{∠BFD=∠GCF}\\{FD=FC}\end{array}\right.$，
∴△GFC≌△BDF，
∴GF=BD，
∵△GEF≌△CED，
∴GF=CD，
∴BD=DC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练的掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．