Question

13．已知关于x的方程x²-ax-a-3=0，
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）将x=1代入方程x²-ax-a-3=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．

解答 （1）解：将x=1代入方程x²-ax-a-3=0，
得1-a-a-3=0，解得a=-1；
方程为x²+x-2=0，
设另一根为x₁，则1•x₁=-2，
解答x₁=-2，
即另一个根为-2；

（2）证明：∵△=（-a）²-4（-a-3）
=a²+4a+12
=a²+4a+4+8
=（a+2）²+8＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．