Question

2．如图，凸八边形ABCDEFGH的8个内角都相等，边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．

Answer 1

分析 双向延长AB、CD、EF、GH得四边形MNPQ，根据多边形内角和定理求出各内角的度数，故可得出其外角的度数，由此得出四边形MNPQ是长方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．设GH=x，HA=y，根据MQ=NP可得出y的值，同理得出x的值，进而可得出结论．

解答 解：如图，双向延长AB、CD、EF、GH得四边形MNPQ，
∵八边形ABCDEFGH的8个内角都相等，
∴每个内角=$\frac{（8-2）×180°}{8}$=135°，
∴每一个外角等于45°，
∴四边形MNPQ是长方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．
设GH=x，HA=y，
∵MQ=NP，
∴MF+EF+EQ=NA+AB+BP，即$\sqrt{2}$+6+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+7+2，解得y=3-$\sqrt{2}$．
同理可得，x=3+2$\sqrt{2}$，
∴该八边形的周长=32+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是三角形的三边关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．