题目内容
【题目】阅读下列材料
下面是小明同学“作一个角等于
的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段
(如图1)
求作：
，使
，
，
作法：如图2，
(1)分别以点
，点
为圆心，长为半径画弧，两弧交于点
，连接
(2)连接并延长，使得
；
(3)连接
就是所求的直角三角形
证明：连接
．
由作图可知，
，
∴
是等边三角形(等边三角形定义)
∴
(等边三角形每个内角都等于)
∴
∴
(等边对等角)
在中，
(三角形的内角和等于
)
∴
∴
(三角形的内角和等于)，即，
∴就是所求作的直角三角形
请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程(保留作图痕迹)，并写出作法，证明，及推理依据．
【答案】作图见解析，证明见解析.
【解析】
(1)延长
至
，使
；(2)分别以点
，点为圆心，
长为半径画弧，两弧交于点
；(3)连接
．根据作图过程，连接CD，得到△DBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠B=60°，根据等腰三角形的性质证明即可．
作法：(1)延长至，使；
(2)分别以点，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
(3)连接．
则
就是所求的直角三角形，
证明：连接
．
由作图可知，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，，
∴
，
∴就是所求作的直角三角形．
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