题目内容

【题目】探索:小明在研究数学问题:已知ABCDABCD都不经过点P,探索∠P与∠C的数量关系.

发现:在如图中,:∠APC=A+C;如图

小明是这样证明的:过点PPQAB

∴∠APQ=A(_ __)

PQAB,ABCD.

PQCD(__ _)

∴∠CPQ=C

∴∠APQ+CPQ=A+C

即∠APC=A+C

(1)为小明的证明填上推理的依据;

(2)应用:①在如图中,∠P与∠A、∠C的数量关系为__ _

②在如图中,若∠A=30 ,∠C=70 ,则∠P的度数为__ _

(3)拓展:在如图中,探究∠P与∠A,C的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)两直线平行,内错角相等;平行于同一直线的两直线平行;(2)∠APC+A+C36040°;(3

【解析】

1)过点PPQAB,根据平行线的性质得出∠APQ=A,∠CPQ=C,即可得出答案;
2)①过点PPQAB,根据平行线的性质得出∠APQ+A=180°,∠CPQ+C=180°,即可得出答案;
②根据平行线的性质得出∠PEB=C=70°,根据三角形外角性质得出即可;
3)根据平行线的性质得出∠APG+A=180°,求出∠APG=180°-A,根据PGCD得出∠CPG+C=180°,即可得出答案.

1)证明:过点PPQAB


所以∠APQ=A(两直线平行,内错角相等)
PQABABCD
PQCD(平行于同一直线的两直线平行)
∴∠CPQ=C
∴∠APQ+CPQ=A+C
即∠APC=A+C
故答案为两直线平行,内错角相等;平行于同一直线的两直线平行;
2)①
解:过点PPQAB


所以∠APQ+A=180°
PQABABCD
PQCD
∴∠CPQ+C=180°
∴∠APQ+CPQ+A+C=360°
即∠APC+A+C=360°
故答案为∠APC+A+C=360°

解:∵ABCD,∠C=70°
∴∠PEB=C=70°
∵∠A=30°
∴∠P=PEB-A=40°
故答案为40°
3)解:
APC=A-C
理由是:如图4,过点PPGAB


PGAB
∴∠APG+A=180°
∴∠APG=180°-A
PGABABCD
PGCD,(平行于同一直线的两直线平行)
∴∠CPG+C=180°
∴∠CPG=180°-C
∴∠APC=CPG-APG=A-C

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