题目内容
10．如图1．△ABC的边AB为⊙O的弦，AC、BC分别交⊙O于D、E，$\widehat{AD}$=$\widehat{BE}$，∠C=60°．（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）如图2，F是弧AD上一点，连接FE并延长至G，连接BG，若∠AFB=∠G，求∠FBG的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接FC并延长交BG延长线于H，若CF=CH，AF=7，HG=12，求线段BF的长度．
分析 （1）只要证明∠A=∠B即可解决问题．
（2）只要证明∠ABF=∠EBG，即可推出∠FBG=∠ABC=60°．
（3）如图3中，作CP∥FG，交BH于P，作FQ⊥BH于Q．设BQ=x，首先证明△ABF≌△CBP，推出PC=AF=7，BF=PB，推出BF=BP=2BQ=2x，FQ=$\sqrt{3}$x，GQ=2x-x-6=x-6，在Rt△FGQ中，由FG2=FQ2+GQ2，列出方程即可解决问题．
解答 （1）证明：如图1中，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BE}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BD}$，
∴∠A=∠B，
∵∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：如图2中，
∵∠BEG+∠BEF=180°，∠BEF+∠FAB=180°，
∴∠BEG=∠BAF，
∵∠BEG+∠G+∠EBG=180°，∠AFB+∠FAB+∠ABF=180°，∠AFB=∠G，
∴∠ABF=∠EBG，
∴∠FBG=∠ABC=60°．
（3）解：如图3中，作CP∥FG，交BH于P，作FQ⊥BH于Q．设BQ=x，
∵FC=CH，
∴HP=PG，
∴FG=2PC，∠FGB=∠CPB，
∵∠AFB=∠FGB，
∴∠AFB=∠CPB，
在△ABF和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠CPB}\\{∠ABF=∠CBP}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBP，
∴PC=AF=7，BF=PB
∴FG=14．
在Rt△FBQ 中，∵∠FQB=90°，∠FBQ=60°，
∴∠BFQ=30°，
∴BF=BP=2BQ=2x，FQ=$\sqrt{3}$x，GQ=2x-x-6=x-6，
在Rt△FGQ中，∵FG2=FQ2+GQ2，
∴142=（$\sqrt{3}$x）2+（6-x）2，
∴x=8或-5（舍弃），
∴BF=2x=16．
点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
全优测试卷系列答案
冲刺100分1号卷系列答案
如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．| A． | x2-3x+1=0 | B． | x2+2x-1=0 | C． | x2-2x+1=0 | D． | x2+2x+3=0 |