Question

18．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求点Q的坐标；
（2）当t为何值时，△APQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位？

Answer 1

分析 （1）过点Q作QH⊥AO于H，如图所示，易证△AHQ∽△AOB，根据相似三角形的性质可用t的代数式表示出QH，进而表示出HO的长，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，从而得到△APQ的面积与t的关系，根据条件就可求出t的值．

解答 解：（1）过点Q作QH⊥AO于H，如图所示，
则有∠AHQ=∠AOB=90°．
又∵∠HAQ=∠OAB，∴△AHQ∽△AOB，
∴$\frac{QH}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{QH}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴QH=$\frac{40-8t}{5}$，
设HO=x，则AH=6-x，
∵△AHQ∽△AOB，
∴$\frac{AH}{6}$=$\frac{HQ}{8}$，
故$\frac{6-x}{6}$=$\frac{\frac{40-8t}{5}}{8}$
解得：x=$\frac{6}{5}$t，
则Q（$\frac{6}{5}$t，$\frac{40-8t}{5}$）；

（2）由（1）得：S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\frac{40-8t}{5}$=$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$．
当S_△APQ=$\frac{24}{5}$时，$\frac{20t-4{t}^{2}}{5}$=$\frac{24}{5}$，
解得：t₁=2，t₂=3．
∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质等知识，正确利用相似表示出HQ，HO的长是解题关键．