Question

6．如图，点P是正方形ABCD内一点，并延长AP与DC相交于点Q．
（1）若PA=$\sqrt{2}$，PB=3，PD=$\sqrt{5}$，求∠DPQ的大小；
（2）若PA+PB+PD的最小值为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，请直接写出正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，将△PAD绕点A逆时针旋转90°得△EAB，利用勾股定理逆定理证明∠PEB=90°，求出∠BEA即可解决问题．
（2）如图2中，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得△EBQ，连接PQ，AE，作EF⊥DA交DA的延长线于F，当E、Q、P、D四点共线时，PA+PB+PD最小，设正方形边长为a，在RT△EFD中利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，将△PAD绕点A逆时针旋转90°得△EAB，
∵PA=AE=$\sqrt{2}$，∠EAP=90°，BE=PD=$\sqrt{5}$，PB=3，
∴PE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴BE²+PE²=5+4=9．PB²=3²=9，
∴PB²=BE²+PE²，
∴∠PEB=90°，
∵∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=∠AEB=45°+90°=135°，
∴∠DPQ=180°-∠APD=45°．
（2）如图2中，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得△EBQ，连接PQ，AE，作EF⊥DA交DA的延长线于F．
当E、Q、P、D四点共线时，PA+PB+PD最小，这个最小值就是线段ED的长．
∴DE=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∵BE=BA，∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形，∠EAB=60°，
∴AE=AB=AD，∠EAD=150°，∠EAF=30°设正方形边长为a，
在RT△AEF中，∵∠F=90°，AE=a，∠EAF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$a，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在RT△EFD中，∵EF²+FD²=ED²，
∴（$\frac{1}{2}$a）²+（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2，
∴正方形ABCD边长为2．

点评 本题考查轴对称-最短问题、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型．