Question

1．如图，已知正方形ABCD中，E为AD的中点，CF=3DF，求证：∠BEF为直角．

Answer 1

分析 设正方形的边长4a，分别利用勾股定理求出△BEF各边的长，进而利用勾股定理的逆定理判断出△BEF为直角三角形．

解答 解：设正方形的边长4a，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=2a，
∵CF=3DF，
∴CF=3a，DF=a，
在△BAE中，
∵BE²=AB²+AE²，
∴BE=$\sqrt{16{a}^{2}+4{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
在△EDF中，
∵EF²=DE²+DF²，
∴EF=$\sqrt{4{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
在△BCF中，
∵BF²=BC²+CF²，
∴BF=$\sqrt{16{a}^{2}+9{a}^{2}}$=5a，
在△BEF中，
∵BE²+EF²=BE²，
∴△BEF是直角三角形，
∴∠BEF为直角．

点评 本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是用a表示出△DEF三边的长，此题难度不大．