Question

3．若方程x²+2kx+k²-2k+1=0有两个实数根x₁，x₂
（1）请你求出k的取值范围
（2）请你判断是否存在这样的实数k，使得x₁²+x₂²=4成立，若存在，请你求出符合条件的k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再求出k即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=-（k²-2k+1），变形后代入，即可求出k，最后判断即可．

解答 解：（1）∵方程x²+2kx+k²-2k+1=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△=（2k）²-4×1×（k²-2k+1）=8k-4≥0，
解得：k$≥\frac{1}{2}$；

（2）存在这样的实数k，使得x₁²+x₂²=4成立．
理由是：∵方程x²+2kx+k²-2k+1=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=-（k²-2k+1），
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4，
∴4k²+2（k²-4k+1）=4，
解得：k=$\frac{2±\sqrt{7}}{3}$，
∵k$≥\frac{1}{2}$，
∴k只能为$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，
即存在这样的实数k，使得x₁²+x₂²=4成立．

点评 本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．