Question

15．已知：x=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，y=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$．
（1）求2x²+2y²-xy的值．
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a²+（x-b）²-y的值．

Answer 1

分析 （1）先分母有理化求出x、y的值，求出x+y和xy的值，变形后代入求出即可；
（2）求出a、b的值，代入求出即可．

解答 解：（1）∵x=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{1×（2-\sqrt{3}）}{（2+\sqrt{3}）×（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$，
同理y=2+$\sqrt{3}$，
∴x+y=4，xy=1，
∴2x²+2y²-xy=2[（x+y）²-2xy]-xy
=2（x+y）²-5xy
=2×4²-5×1
=27；

（2）∵1＜$\sqrt{3}$＜2，
∴0＜2-$\sqrt{3}$＜1，3＜2+$\sqrt{3}$＜4，
∵x的整数部分为a，y的小数部分为b，
∴a=0，b=2+$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$-1，
∴5a²+（x-b）²-y=5×0²+[（2-$\sqrt{3}$）-（$\sqrt{3}$-1）]²-（2+$\sqrt{3}$）=19-13$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．