Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$+2，在BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径作半圆与AB相切于点E．求⊙O的半径．

Answer 1

分析 连结OE，如图，设⊙O的半径为r，由于∠C=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$+2，则可判断△ABC为等腰直角三角形，得到AB=$\sqrt{2}$AC=4+2$\sqrt{2}$，∠B=45°，再利用切线的性质得OE⊥AB，于是可判断△OBE为等腰直角三角形，则OB=$\sqrt{2}$OE，即2$\sqrt{2}$+2-r=$\sqrt{2}$r，然后解方程即可．

解答 解：连结OE，如图，设⊙O的半径为r，
∵∠C=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$+2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$+2）=4+2$\sqrt{2}$，∠B=45°，
∵OC为半径作半圆与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，OC=OE=r，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴OB=$\sqrt{2}$OE，
即2$\sqrt{2}$+2-r=$\sqrt{2}$r，解得r=2，
即⊙C的半径为2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰直角三角形的性质．