Question

18．观察下列等式：
第一个等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$
第二个等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}=\frac{1}{2×{2}^{2}}-\frac{1}{3×{2}^{3}}$
第三个等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}=\frac{1}{3×{2}^{3}}-\frac{1}{4×{2}^{4}}$
第四个等式：a₄=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}=\frac{1}{4×{2}^{4}}-\frac{1}{5×{2}^{5}}$
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n{•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$；
（2）式子a₁+a₂+a₃+…a₂₀₁₄=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）首先根据前四个等式的特征，可得第n个等式的分子是n+2，分母是n（n+1）•2ⁿ⁺¹；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是n•2ⁿ，第二个数的分母是（n+1）•2ⁿ⁺¹，据此解答即可．
（2）根据题意，把前2014个等式左右两边分别相加，求出a₁+a₂+a₃+…a₂₀₁₄的值是多少即可．

解答 解：（1）根据分析，可得
用含n的代数式表示第n个等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n{•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$；

（2）a₁+a₂+a₃+…a₂₀₁₄
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2{×2}^{2}}$-$\frac{1}{3{×2}^{3}}$+$\frac{1}{3{×2}^{3}}$-$\frac{1}{4{×2}^{4}}$+…+$\frac{1}{2014{×2}^{2014}}$-$\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$
故答案为：$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$；$\frac{1}{n{•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$；$\frac{1}{2}-\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出第n个等式的分子、分母的特征，并能用含n的代数式表示第n个等式．