Question

3．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°．求图中所示阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由∠1=∠2，∠2=∠3得∠1=∠3，则可判断OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，于是根据切线的判定定理可得CD为⊙O的切线；
（2）利用三角形外角性质可得到∠EOC=60°，而OC⊥CD，则∠OCE=90°，在Rt△OCE中利用∠EOC的正切可计算出CE=3$\sqrt{3}$，然后三角形面积公式和扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_△OOE-S_扇形COB进行计算即可．

解答 解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
而CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）∵∠EOC=∠1+∠2，∠2=30°，
∴∠EOC=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCE=90°，
在Rt△OCE中，∵tan∠EOC=$\frac{CE}{OC}$，
∴CE=3tan60°=3$\sqrt{3}$，
∴_{S阴影部分}=S_△OOE-S_扇形COB
=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{3}^{2}}{360}$
=$\frac{9\sqrt{3}-3π}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．