Question

3．如图，BE=CE，AB=DC，∠ABE=∠DCE，连接AC、DB交于点O，连接OE，EM、EN分别平分∠AEC和∠BED．求证：
（1）∠CAE=∠BDE；
（2）EN=EM．

Answer 1

分析 （1）利用“SAS”证得△ABE≌△DCE，得出∠AEB=∠CED，AE=DE，再进一步证得△ACE≌△DBE，即可得出结论；
（2）由△ACE≌△DBE，得出∠EAC=∠EDB，∠AEC=∠DEB，由角平分线的性质得出∠AEN=∠DEM，证得△ANE≌△DME，得出结论．

解答 证明：（1）在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠ABE=∠DCE}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠AEB=∠CED，AE=DE，
∴∠AEC=∠DEB，
在△ACE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=ED}\\{∠AEC=∠DEB}\\{EC=EB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DBE，
∴∠CAE=∠BDE；
（2）∵△ACE≌△DBE，
∴∠CAE=∠BDE，∠AEC=∠DEB，
∵EM、EN分别平分∠AEC和∠BED，
∴∠AEN=∠DEM，
在△ANE和△DME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAE=∠MED}\\{AE=ED}\\{∠AEN=∠DEM}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△DME，
∴EN=EM．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．