Question

已知，如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，DC上，作直线MN，分别交DA和BC的延长线于点E，F，且AE=CF．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BNDM是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用“平行四边形的对边相互平行”和平行线的性质易推知∠1=∠3，∠E=∠F，然后结合已知条件，由AAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等推知AM=CN，则结合平行四边形的性质可以得到BM=DN，则“有一组对边相互平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论．

解答：证明：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC即ED∥BF，AB∥DC，
∴∠E=∠F，∠2=∠3．
又∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
在△AEM与△CFN中，

∠1=∠3 ∠E=∠F AE=CF

，
∴△AEM≌△CFN（AAS）；

（2）由（1）知：△AEM≌△CFN，则AM=CN．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB-AM=CD-CN即MB=ND，MB∥ND，
∴四边形BNDM是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．