Question

如图，矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上一动点（P异于A，D），Q是BC边上的任意一点连AQ，DQ，过P作PE∥DQ，交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
①求证：△APE∽△ADQ．
②设AP的长为x，试求△PEF的面积y关于x的函数关系式．
③当Q在何处时，△ADQ的周长最小？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据PE∥QD得出两三角形相似．
（2）根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方及S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}，列出式子求出△PEF的面积y关于x的函数关系式．
（3）△ADQ中，AD长为定值，因此要使△ADQ的周长最小，AQ+QD需最小，可根据轴对称图形的性质和两点间线段最短为依据来确定Q点的位置．

解答：（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；
（2）解：同（1）可证△APE∽△ADQ，
△PDF∽△ADQ，
S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}，
设AP的长为x，根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴

S△AEP

S△AQD

=(

x

3

)2，

S△DPF

S△ADQ

=(

3-x

3

)2，
∵S_△AQD=

1

2

AD×AB=

1

2

×3×2=3，
得S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}
=

1

2

（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP），
=

1

2

×[3-(

x

3

)2×3-(

3-x

3

)2×3]，
=

1

2

（-

2

3

x²+2x），
=-

1

3

x²+x
∴y=-

1

3

x²+x．
（3）解：如图，作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，

∵BQ∥AD，点B为AA′中点，
∴BQ为△A′AD的中位线，
此时Q是BC的中点，
最小周长为AD+A′D=3+

AA′2+AD2

=3+

42+32

=3+5=8．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、矩形的性质等知识．解题的关键是运用面积比等于相似比的平方．