Question

20．如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：①S₁+S₄=S₂+S₃；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂；④若S₁=S₂，则S₃=S₄，其中正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 根据矩形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论．

解答 解：如图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃=$\frac{1}{2}$矩形ABCD面积；
同理可得出S₂+S₄=$\frac{1}{2}$矩形ABCD面积；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S₁+S₂=S₃+S₄．
但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．
故①不一定正确；
③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；
故此选项错误；
∵S₂+S₄=S₁+S₃；若S₁=S₂，则S₃=S₄，
∴④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的面积，以及矩形对角线上点的判定，用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．