Question

9．已知：如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点．
（1）求证：PQ、MN互相平分；
（2）当四边形ABCD的边满足条件：AB=CD时，PQ⊥MN．（不必证明）

Answer 1

分析 （1）连接MP、NP、MQ、NQ，根据三角形中位线定理得到PM=$\frac{1}{2}$AB，PM∥AB，NQ=$\frac{1}{2}$AB，NQ∥AB，根据平行四边形的判定定理证明四边形PMQN是平行四边形，根据平行四边形的性质定理证明结论；
（2）根据菱形的判定定理和性质定理解答即可．

解答 （1）证明：连接MP、NP、MQ、NQ，
∵P、M分别是AD、BD的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB，PM∥AB，
同理NQ=$\frac{1}{2}$AB，NQ∥AB，
∴PM∥NQ，PM=NQ，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∴PQ、MN互相平分；
（2）AB=CD，
∵PM=$\frac{1}{2}$AB，PN=$\frac{1}{2}$CD，
当AB=CD时，PM=PN，
则平行四边形PMQN是菱形，
∴PQ⊥MN．

点评 本题考查的是中点四边形的证明，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理和性质定理是解题的关键．