Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为x轴正半轴上一点，S_△ABC=9．
（1）求点C的坐标；
（2）若线段AB上一点M到坐标轴的距离相等．
①求点M的坐标及直线OM的函数表达式；
②若点P为直线OM上一动点，且∠APM=∠CPM，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A（-4，0），B（0，-3），设C（m，0），由S_△ABC=9，可得方程$\frac{1}{2}$•（4+m）×3=9，解方程即可．
（2）①由题意可知，OM是一、三象限的角平分线，所以直线OM的解析式为y=x，列出方程组解方程组即可求出点M坐标．
②设点P（m，m），作OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．由$\frac{{S}_{△PAO}}{{S}_{△POC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PA•OE}{\frac{1}{2}•PC•OF}$=$\frac{OA}{OC}$，因为∠APM=∠CPM，OE⊥AP于E，OF⊥PC于F，可得OE=OF，所以$\frac{PA}{PC}$=$\frac{OA}{OC}$=2，所以PA=2PC，所以PA²=4•PC²，由此可得方程（m+4）²+m²=4[（m-2）²+m²]，解方程即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴可得A（-4，0），B（0，-3），设C（m，0），
由题意$\frac{1}{2}$•（4+m）×3=9，
∴m=2，
∴点C坐标为（2，0）．

（2）①点M到坐标轴的距离相等，
∴OM是一、三象限的角平分线，
∴直线OM的解析式为y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{7}}\\{y=-\frac{12}{7}}\end{array}\right.$，
∴点M坐标为（-$\frac{12}{7}$，-$\frac{12}{7}$）．

②如图，设点P（m，m），作OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．
∵$\frac{{S}_{△PAO}}{{S}_{△POC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PA•OE}{\frac{1}{2}•PC•OF}$=$\frac{OA}{OC}$，
又∵∠APM=∠CPM，OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．
∴OE=OF，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{OA}{OC}$=2，
∴PA=2PC，
∴PA²=4•PC²，
∴（m+4）²+m²=4[（m-2）²+m²]，
∴m=4或0（舍弃），
∴点P的坐标为（4，4）．

点评 本题考查一次函数综合题、角平分线的性质定理、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，学会用方程的思想思考问题，所以中考压轴题．