如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+mx+2与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.抛物线的对称轴直线x=$\frac{3}{2}$交x轴于点D．(1)求m的值,(2)在抛物线的对称轴上找出点P.使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.直接写出P点的坐标,(3)点E是线段BC上的一个动点.过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F.与x轴相交于点H.连接CF.BF.OE.当四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x=$\frac{3}{2}$交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）在抛物线的对称轴上找出点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，直接写出P点的坐标；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，与x轴相交于点H，连接CF、BF、OE，当四边形CDBF的面积最大时，请你说明四边形OCFE的形状．

分析（1）根据对称轴公式，可得M的值；
（2）根据等腰三角形的定义，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得EF的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得n的值，根据平行四边形的判定，可得答案．

解答解：（1）∵对称轴是直线x=$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{m}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{3}{2}$；
（2）由勾股定理，得
CD=$\frac{5}{2}$，当CD=DP=$\frac{5}{2}$时，P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
当CD=CP时，设P点坐标为（$\frac{3}{2}$，b），
∴$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（b-2）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
解得b=4，P（$\frac{3}{2}$，4），
综上所述：P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，4）；
（3）四边形OCFE是平行四边形，
由抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
令y=0，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），A（-1，0），
当x=0时，y=2，即C（0，2），
设BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
点F在抛物线上，设F的坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+2），
点E在BC上，E点的坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n+2），
EF=FH-EH=-$\frac{1}{2}$n²+2n，
∵S_{四边形CDBF}=S_△CDB+S_CFB，
S_CDB=$\frac{1}{2}$BD•CO=$\frac{1}{2}$×（4-1.5）×2=$\frac{5}{2}$，S_CFB=$\frac{1}{2}$EF•OB•OB=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$n²+2n）=-n²+4n，
S_{四边形CDBF}=-n²+4n+$\frac{5}{2}$=-（n-2）²+$\frac{13}{2}$，
当n=2时，四边形CDBF的面积最大，此时EF=-$\frac{1}{2}$n²+2n=2，EH=-$\frac{1}{2}$n+2=1，OH=2，OE=$\sqrt{O{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵OC=EF=2，OC∥EF，
∴四边形OCFE是平行四边形．