Question

6．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx-2经过A，B，C，点B坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC上一个动点，DE⊥AC，交直线AC下方的抛物线于点E，EG⊥x轴于点G，交AC于点F，请求出DF长的最大值；
（3）设抛物线对称轴与x轴相交于点H，点P是射线CH上的一个动点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数解析式求出A和C点坐标，再设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）设E（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），则F（x，$\frac{1}{2}$x-2），则可表示出EF=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，再证明Rt△DEF∽Rt△OAC，利用相似比得到DF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EF=-$\frac{\sqrt{5}}{10}$（x-2）²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先利用对称性确定H（$\frac{3}{2}$，0），再利用待定系数法求出射线CH的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2（x≥0），接着分类讨论：当∠BPA=90°时，如图2，设P（t，$\frac{4}{3}$t-2），利用两点间的距离公式表示出PB²=（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，PA²=（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，则根据勾股定理得到（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²+（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²=5²，然后解方程求出t即可得到此时P点坐标；当∠BAP′=90°时，如图2，易得P′（4，$\frac{10}{3}$）．

解答 解：（1）∵当y=0时，$\frac{1}{2}$x-2=0，解得x=4，
∴A（4，0），
∵当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x-2=-2，
∴C（0，-2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，-2）代入得a•1•（-4）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），即y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设E（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），则F（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∴EF=$\frac{1}{2}$x-2-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵DE⊥AC，EG⊥AB，
∴∠FDE=∠AGE=90°，
而∠AFG=∠EFD，
∴∠GAF=∠DEF，
∴Rt△DEF∽Rt△OAC，
∴DF：OC=EF：AC，即DF：2=EF：2$\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EF=-$\frac{\sqrt{5}}{10}$（x-2）²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
当x=2时，DF有最大值，最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）∵A（4，0），B（-1，0），
∴H（$\frac{3}{2}$，0），
设直线CP的解析式为y=mx+n，
把C（0，-2），H（$\frac{3}{2}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{\frac{3}{2}m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴射线CH的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2（x≥0），
当∠BPA=90°时，如图2，设P（t，$\frac{4}{3}$t-2），则PB²=（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，PA²=（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，
∵PB²+PA²=AB²，
∴（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²+（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²=5²，
整理得t²-3t=0，解得t₁=0，t₂=3，此时P点坐标为（0，-2）或（3，2）；
当∠BAP′=90°时，如图2，则P′A⊥x轴，P′点的横坐标为4，当x=4时，y=$\frac{4}{3}$x-2=$\frac{10}{3}$，则P′（4，$\frac{10}{3}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，-2）或（3，2）或（4，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用勾股定理和相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．