Question

17．已知△ABC中，AB=15，AC=13，AD⊥BC于D，AD=12，⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径是$\frac{65}{8}$．

Answer 1

分析 分两种情形当△ABC是锐角三角形或钝角三角形，分别求解即可；

解答 解：当△ABC是锐角三角形时，如图，AE是△ABC外接圆的直径．

在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∵∠C=∠E，∠ADC=∠ABE=90°，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴$\frac{12}{15}$=$\frac{13}{AE}$，
∴AE=$\frac{65}{4}$，
∴△ABC的外接圆的半径为$\frac{65}{8}$．
当△ABC是钝角三角形时，如图，CE是△ABC的外接圆的直径，作CF⊥AB于F．

∵$\frac{1}{2}$•AB•CF=$\frac{1}{2}$•BC•AD，
可得CF=$\frac{16}{5}$，
由△AEC∽△FBC，可得$\frac{AC}{CF}$=$\frac{CE}{CB}$，
∴$\frac{13}{\frac{16}{5}}$=$\frac{CE}{4}$，
∴CE=$\frac{65}{4}$，
∴△ABC的外接圆的半径为$\frac{65}{8}$，
综上所述，△ABC的外接圆的半径为$\frac{65}{8}$．
故答案为$\frac{65}{8}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆和外心，相似三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．