Question

10．如图，抛物线y=ax²-5ax-6a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，直线y=-x+b交抛物线于D，交x轴于E，且△ACE的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为CD上方抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，交直线CD于F，设P点的横坐标为m，线段PF的长为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点P作PG⊥CD，垂足为G，若∠APG=∠ACO，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把y=0代入抛物线的解析式可求得方程的解，从而可得到点A和点B的坐标，然后依据△ACE的面积为6可求得b的值，然后可得到点C的坐标，故此可得到a的值；
（2）直线CE的解析式为y=-x+3．设P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3）．然后可求得点F的横坐标，最后依据d=PF可得到d与m的函数关系式；
（3）过点P作PC⊥x轴，垂足为N，过点A作AM⊥PG，垂足为M．然后证明△AMH和△PHN均为等腰直角三角形，设MH=AM=a，然后可求得PN和AN的长，故此可得到tan∠PAN=2或tan∠PAN=$\frac{1}{2}$，然后列出关于m的方程求解即可．

解答 解：（1）把y=0代入y=ax²-5ax-6a得：ax²-5ax-6a=0，
∴a（x-6）（x+1）=0，
∴x=6或x=-1．
∴A（-1，0）、B（6、0）
把y=0代入y=-x+b得：-x+b=0，解得：x=b，把x=0代入y=x+b得：y=b，
∴OC=b，AE=b+1．
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$b（b+1）=6，
解得：b=3或b=-4（舍去）．
∴C（0，3）．
将点C的坐标代入抛物线的解析式得：-6a=3，解得a=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3．

（2）∵b=3，
∴直线CE的解析式为y=-x+3．
设P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3）．
∵PF∥x轴，
∴点F的纵坐标为-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3．
∴-x+3=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3．
∴x=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m．
∴d=PF=m-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{7}{2}$m．

（3）如图1所示：
∵OA=1，OC=3，
∴tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
∵∠APG=∠ACO，
∴tan∠APG=$\frac{1}{3}$．
如图1所示：过点P作PC⊥x轴，垂足为N，过点A作AM⊥PG，垂足为M．

∵OC=OE，∠COE=90°，
∴∠CEO=45°．
又∵∠EGH=90°，
∴∠GHO=45°．
∴△AMH为等腰直角三角形．
设MH=AM=a，
∴AH=$\sqrt{2}$a，PH=4a．
在Rt△PHN中，PN=AN=2$\sqrt{2}$a．
∴AN=$\sqrt{2}$a．
∴tan∠PAN=2．
设P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3），则PN=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3，AN=m+1，即$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{5}{2}m+3}{m+1}$=2，
解得：m=-1（舍去）或m=2．
∴P（2，6）．
如图2所示：过点P作PC⊥x轴，垂足为N，过点A作AM⊥PG，垂足为M．

设AM=a，则MP=3a．
∵OC=OE，∠COE=90°，
∴∠CEO=45°．
又∵∠EGH=90°，
∴∠GHO=45°．
∴△AMH为等腰直角三角形．
设MH=AM=a，
∴AH=$\sqrt{2}$a，PH=2a．
在Rt△PHN中，PN=AN=$\sqrt{2}$a．
∴AN=2$\sqrt{2}$a．
∴tan∠PAN=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{5}{2}m+3}{m+1}$=$\frac{1}{2}$．解得：m=-1，m=5，
∴P（5，3）．
综上所述，点P的坐标为P（2，6）或P（5，3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得tan∠PAN的值是解题的关键．