Question

已知直线y₁=2x-1分别交x轴、y轴于B、C，抛物线y₂=mx²过直线y₁=2x-1上点A（1，n）．
（1）求m的值；
（2）求证：抛物线y₂=mx²上除点A外的所有点均在直线y₁=2x-1的上方；
（3）过点C作直线交抛物线y₂=mx²于点M、N，若CM=MN，求点M的坐标；
（4）过点A 的另一条抛物线y₃=ax²+bx+c满足y₁≤y₃≤y₂，且过点（-5，1），求抛物线y₃=ax²+bx+c的函数表达式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将x=1代入y₁=2x-1 ①，求出y₁=1，得到A（1，1），再将A（1，1）代入y₂=mx²，即可求出m的值；
（2）由y₂=x² ②，得出y₂-y₁=x²-（2x-1）=（x-1）²≥0，当且仅当x=1时，y₂-y₁=0成立，即可证明抛物线y₂=mx²上除点A外的所有点均在直线y₁=2x-1的上方；
（3）先求出y₁=2x-1与y轴交点C的坐标为（0，-1），再根据M、N在抛物线y₂=x²上，可设M（m，m²），N（x，y），由M是CN中点，根据中点坐标公式得出

m= 0+x 2 m2= -1+y 2

，则

x=2m y=2m2+1

，于是（2m）²=2m²+1，解方程求出m的值，进而求出点M的坐标；
（4）先由抛物线y₃经过A（1，1）、（-5，1），根据对称性得出y₃的对称轴是x=-2，则y₃=a（x+2）²-4a+c=ax²+4ax+c ③，再由y₁≤y₃≤y₂，得出a＞0，并且y₁、y₂、y₃只有一个解得A，于是联立①③并整理得：ax²+（4a-2）x+c+1=0，得出△=（4a-2）²-4a（c+1）=0 ④，联立②③并整理得：（a-1）x²+4ax+c=0 ⑤，联立④⑤得：c=1-5a，于是y₃=ax²+4ax-5a+1．而当y₁=y₂时，x=1，所以方程2x+1=ax²+4ax-5a+1有唯一解x=1，即x=

-(4a-2)

2a

=1，解方程求出a=

1

3

，进而得到y₃=

1

3

x²+

4

3

x-

2

3

．

解答：（1）解：将x=1代入y₁=2x-1 ①，
解得：y₁=1，则A（1，1）．
将A（1，1）代入y₂=mx²，得m=1；

（2）证明：∵y₁=2x-1，y₂=x² ②，
∴y₂-y₁=x²-（2x-1）=（x-1）²≥0，
当且仅当x=1时，y₂-y₁=0成立，
∴抛物线y₂=mx²上除点A外的所有点均在直线y₁=2x-1的上方；

（3）解：∵y₁=2x-1，
∴当x=0时，y=-1；当y=0时，x=

1

2

，
∴B（

1

2

，0），C（0，-1）．
∵M、N在抛物线y₂=x²上，
∴设M（m，m²），N（x，y），
∵CM=MN，
∴M是CN中点，
∴

m= 0+x 2 m2= -1+y 2

，∴

x=2m y=2m2+1

，
∴（2m）²=2m²+1，
解得：m=±

2

2

，
∴m²=（±

2

2

）²=

1

2

，
∴M₁（

2

2

，

1

2

），M₂（-

2

2

，

1

2

）；

（4）解：∵抛物线y₃经过A（1，1）、（-5，1），
∴y₃的对称轴是x=-2，
∴y₃=a（x+2）²-4a+c=ax²+4ax+c ③．
∵y₁≤y₃≤y₂，
∴a＞0，y₁、y₂、y₃只有一个解得A，
∴联立①③并整理得：ax²+（4a-2）x+c+1=0，
∴△=（4a-2）²-4a（c+1）=0 ④，
联立②③并整理得：（a-1）x²+4ax+c=0 ⑤，
联立④⑤得：c=1-5a，
∴y₃=ax²+4ax-5a+1．
∵当y₁=y₂时，x=1，
∴方程2x+1=ax²+4ax-5a+1有唯一解x=1，
即x=

-(4a-2)

2a

=1，解得a=

1

3

，
∴y₃=

1

3

x²+

4

3

x-

2

3

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的性质，不等式的性质，线段中点坐标公式，两函数有唯一交点时满足的条件等知识，综合性较强，有一定难度．