Question

9．在你身边45°角的三角板ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
（1）试问点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离有何关系，说明理由．
（2）如果将你身边另一块三角板的直角顶点放在O点上，两条直角边分别与AC、AB相交于N、M，请你探索说明△OMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接OA，得出△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，得出0A=0B=OC，据此即可解答；
（2）△OMN的为等腰直角三角形，证明△ONA≌△OMB，得到ON=OM，又∠NOM直角，所以△OMN的为等腰直角三角形．

解答 解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等，
如图，连接OA，

∵AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
∴0A=0B=OC，
∴点O到△ABC得三个顶点A、B、C的距离相等；
（2）△OMN的形状为等腰直角三角形．
∵AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴∠AOB=90°，∠CAO=∠BAO=45°，∠ABO=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON=∠BOM，
在△ONA和△OMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AON=∠BOM}\\{AO=BO}\\{∠NAO=∠MBO}\end{array}\right.$
∴△ONA≌△OMB，
∴ON=OM，
又∵∠NOM直角，
∴△OMN的为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，在（2）中的关键是证明△ONA≌△OMB．