Question

4．如图，在平面直角坐标系中．以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切与点B，交PB与⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C，则BC的长是（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由AO=2，P的纵坐标为2，得到AP与x轴平行，即PA与AO垂直，即可得到AP为圆O的切线，连接OP，OB，过B作BQ垂直于OC，由切线长定理得到PA=PB=4，PO为角平分线，进而得到一对角相等，根据AP与OC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到OC=CP，设OC=x，BC=BP-PC=4-x，OB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结论．

解答 解：∵圆O的半径为2，P（4，2），
∴AP⊥OA，
则AP为圆O的切线，
如图，连接OP，OB，过B作BQ⊥OC，
∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，
∵AP∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠BPO=∠POC，
∴OC=CP，
在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB-PC=4-x，OB=2，
根据勾股定理得：OC²=OB²+BC²，即x²=4+（4-x）²，
解得：x=2.5，
∴BC=4-x=1.5，
故选：D．

点评 此题考查了切线的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，平行线的性质，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键．