Question

2．如图，直线y=$\frac{2}{3}$x-4分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C、D分别是线段OA、AB的中点，点P为OB上一动点，当PC+PD取最小值时点P的坐标是（　　）

• A． （0，-1）
• B． （0，-2）
• C． （0，-3）
• D． （0，-4）

Answer 1

分析 根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，（方法一）结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标；（方法二）由点D、D′关于y轴对称，可得出点P为线段CD′的中点，根据中点坐标公式即可得出点P的坐标．

解答 解：作点D关于y轴的对称点D′，连接CD′交y轴于点P，此时PC+PD取最小值，如图所示．
当x=0时，y=$\frac{2}{3}$x-4=-4，
∴点B的坐标为（0，-4）；
当y=$\frac{2}{3}$x-4=0时，x=6，
∴点A的坐标为（6，0）．
∵点C、D分别是线段OA、AB的中点，
∴点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（3，-2）．
∵点D、D′关于y轴对称，
∴点D′的坐标为（-3，-2）．
（方法一）设直线CD′的解析式为y=kx+b，
将C（3，0）、D′（-3，-2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-3k+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线CD′的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1．
当x=0时，y=$\frac{1}{3}$x-1=-1，
∴点P的坐标为（0，-1）．
（方法二）∵点D、D′关于y轴对称，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（0，-1）．
故选A．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中的最短路线问题，根据两点之间线段最短找出当PC+PD取最小值时点P的位置是解题的关键．