Question

12．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第7个菱形的边长是27．

Answer 1

分析 先求出第一个菱形和第二个菱形的边长，得出规律，根据规律即可得出结论．

解答 解：连接BD交AC于O，连接CD₁交AC₁于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ACD⊥BD，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
OA=$\frac{1}{2}$AC，
∴OA=AB•cos30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2OA=$\sqrt{3}$，
同理AE=AC•cos30°=$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，AC₁=3=（$\sqrt{3}$）²，…，
第n个菱形的边长为（ $\sqrt{3}$）^n-1，
∴第7个菱形的边长为（ $\sqrt{3}$）⁶=27；
故答案为27．

点评 本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形以及锐角三角函数的运用；根据第一个和第二个菱形的边长得出规律是解决问题的关键．