Question

11．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC²=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．

Answer 1

分析 【问题情境】通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC²=AD•AB；
【结论运用】（1）根据射影定理得BC²=BO•BD，BC²=BF•BE，则BO•BD=BF•BE，即$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；
（2）先计算出DE=4，CE=2，BE=2$\sqrt{10}$，OB=3$\sqrt{2}$，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到$\frac{OF}{DE}$=$\frac{BO}{BE}$，即$\frac{OF}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$，然后利用比例性质求OF．

解答 【问题情境】
证明：如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
而∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
【结论运用】
（1）证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC²=BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC²=BF•BE，
∴BO•BD=BF•BE，
即$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，
而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）∵BC=CD=6，
而DE=CE，
∴DE=4，CE=2，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在Rt△OBC中，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，
∵△BOF∽△BED，
∴$\frac{OF}{DE}$=$\frac{BO}{BE}$，即$\frac{OF}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$，
∴OF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．