Question

7．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=2BD，以AD为斜边在菱形ABCD同侧作Rt△ADE．

（1）如图1，当点E落在边AB上时．
①求证：∠BDE=∠BAO；
②求$\frac{DO}{OF}$的值；
③当AF=6时，求DF的长．
（2）如图2，当点E落在菱形ABCD内部，且AE=DE时，猜想OE与OB的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）①根据菱形的性质和对顶角相等证明即可；
②根据∠BAO=∠ODF以及正切的概念计算；
③设OF=x，根据题意用x表示出OD、AO，根据题意求出x的值，根据勾股定理计算即可；
（2）连结BE，证明△AEO≌△DEB，得到△OEB为等腰直角三角形，即可解答．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又△ADE是直角三角形，
∴∠AEF=∠DOF=90°，
∴∠BDE+∠DFO=∠BAO+∠AFE，
∵∠AFE=∠DFO，
∴∠BDE=∠BAO；
②∵AC=2BD，
∴AO=2OB，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ODF=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DO}{OF}$=2；
③设OF=x，则OD=2x，AO=4x，
∵AF=6，
∴4x-x=6，
∴x=2，即OF=2，DO=4，
由勾股定理得，DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）OB=$\sqrt{2}$OE．
理由如下：如图2，连结BE，
在△AEO和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠EAO=∠EDB}\\{AO=DB}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△DEB，
∴EO=EB，∠AEO=∠DEB，
∴∠AEO-∠DEO=∠DEB-∠DEO，即∠OEB=∠AED=90°，
∴OB=$\sqrt{2}$OE．

点评 本题考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．