如图.在△ABC中.已知AB=AC=5.BC=6.且△ABC≌△DEF.将△DEF与△ABC重合在一起.△ABC不动.△DEF运动.并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动.且DE始终经过点A.EF与AC交于M点．(1)求证:△ABE∽△ECM,(2)探究:在△DEF运动过程中.重叠部分能否构成等腰三角形?若能.求出BE的长,若不能.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）求当线段AM最短时的长度．

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-

（x-3）²+

，利用二次函数的性质，继而求得线段AM的最小值．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

，
∴CE=

AC2

，
∴BE=6-

；
∴BE=1或

；

（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴

，
即：

6-x

，
∴CM=-

x=-

（x-3）²+

，
∴AM=-5-CM=

（x-3）²+