Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C（0，-3），对称轴为直线x=1，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线解析式和顶点D的坐标；
（2）求抛物线与x轴的两交点A、B的坐标；
（3）你可以直接写出不等式x²-2x-3＜0的解集吗？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式,二次函数与不等式（组）

专题：计算题

分析：（1）把C点坐标代入二次函数解析式可确定c=-3，再利用对称轴方程可确定b=-2，则抛物线解析式为y=x²-2x-3；然后配成顶点式可得到D点坐标；
（2）解方程x²-2x-3=0可确定A点和B点坐标；
（3）当-1＜x＜3时，y＜0，即x²-2x-3＜0．

解答：解：（1）根据题意得x=-

b

2

=1，0+c=-3，解得b=-2，c=-3
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4）；
（2）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=3，x₂=-1
∴A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0）；
（3）x²-2x-3＜0的解集为-1＜x＜3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．