Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，E点在BC上．

（1）求证：BC＝2AB；

（2）若AB＝3cm，∠B＝60°，一动点F以1cm/s的速度从A点出发，沿线段AD运动，CF交DE于G，当CF∥AE时：

①求点F的运动时间t的值；②求线段AG的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①t＝3（秒）；②AG＝．

【解析】

(1)先判断出∠DAE=∠AEB,再判断出∠DAE=∠BAE,进而得出∠BAE=∠AEB,即可判断出AB=BE同理:判断出CE=AB,即可得出结论

(2)①先判断出四边形AECF是平行四边形,进而求AF=3,即可得出结论

②先判断出△ABE是等边三角形,进而求出∠AEB=60°,AE=3cm,再判断出∠DCF=∠ECF,即可判断出∠CGE=90°,最后用勾股定理即可得出结论.

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，

同理：CE＝CD，

∴BE＝CE＝AB，

∴BC＝BE+CD＝2AB；

（2）①由（1）知，CE＝CD＝AB，

∵AB＝3cm，

∴CE＝3cm，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC

∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AF＝CE＝3cm，

∴点F的运动时间t＝3÷1＝3（秒）；

②由（1）知AB＝BE，

∵∠B＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠AEB＝60°，AE＝AB＝3cm，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B+∠BCD＝180°，

∵∠B＝60°，

∴∠BCD＝120°，

∵AE∥CF，

∴∠ECF＝∠AEB＝60°，

∴∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝60°＝∠ECF，

由（1）知，CE＝CD＝AB＝3cm，

∴CF⊥DE，

∴∠CGE＝90°，

在Rt△CGE中，∠CEG＝90°﹣∠ECF＝30°，CG＝ CE＝ ，

∴EG＝ CG＝ ，

∵∠AEB＝60°，∠CEG＝30°，

∴∠AEG＝90°，

在Rt△AEG中，AE＝3，根据勾股定理得，AG＝．