Question

【题目】如图，两个全等的Rt△AOB、Rt△OCD分别位于第二、第一象限，∠ABO＝∠ODC＝90°，OB、OD在x轴上，且∠AOB＝30°，AB＝1．

（1）如图1中Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先绕点O顺时针旋转　 　度，再绕斜边中点旋转　 　度得到的，C点的坐标是　 　；

（2）是否存在点E，使得以C、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出E点的坐标；若不存在请说明理由．

（3）如图2将△AOC沿AC翻折，O点的对应点落在P点处，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）90，180，（1，）；（2）存在，E的坐标为（0，）或（2，），或（0，﹣）；（3）P（1﹣，1+）．

【解析】

(1)先求出OB,再由旋转求出OD,CD,即可得出结论;

(2)先求出D的坐标,再分三种情况,利用平行四边形的性质即可得出结论;

(3)先判断出四边形OAPC是正方形,再利用中点坐标公式即可得出结论

解：（1）Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先绕点O顺时针旋转90°，再绕斜边中点旋转180°得到的，

在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，AB＝1，

∴OB＝ ，

由旋转知，OD＝AB＝1，CD＝OB＝，

∴C（1，），

故答案为90，180，（1，）；

（2）存在，理由：如图1，

由（1）知，C（1，），

∴D（1，0），

∵O（0，0），

∵以C、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

∴①当OC为对角线时，

∴CE∥OD，CE＝OD＝1，点E和点B'重合，

∴E（0，），

②当CD为对角线时，CE∥OD，CE＝OD＝1，

∴E（2，），

当OD为对角线时，OE'∥CD，OE'＝CD，

∴E（0，﹣），

即：满足条件的E的坐标为（0，）或（2，），或（0，﹣）；

（3）由旋转知，OA＝OC，∠OCD＝∠AOB＝30°，

∴∠COD＝90°﹣∠OCD＝60°，

∴∠AOC＝90°，

由折叠知，AP＝OA，PC＝OC，

∴四边形OAPC是正方形，

设P（m，n）

∵A（﹣，1），C（1，），O（0，0），

∴ （m+0）＝（1﹣），（n+0）＝（1+），

∴m＝1﹣，n＝1+，

∴P（1﹣，1+）．