Question

20．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE=CF．
求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥EF．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF=∠ABC=90°，判断出AE⊥BF．

解答 证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；

（2）∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CAF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴AE⊥BF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE与BF所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键．