Question

2．正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠B=∠ADC=90°，AB=BC=4，∠ACD=45°，由勾股定理求出AC=4$\sqrt{2}$，AB⊥BC，证出PE∥BC，得出O为AC的中点，得出OP=$\frac{1}{2}$BC=2，OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，证明A、C、E、D四点共圆，由圆周角定理得出AC为直径，O为圆心，得出OE=OC=2$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 解：连接AC，BD交于O，如图所示：
当E、P、O共线时，PE=OE-OP最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=BC=4，∠ACD=45°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，AB⊥BC，
∵PE⊥AB，
∴PE∥BC，
∵P为AB中点，
∴O为AC的中点，
∴OP=$\frac{1}{2}$BC=2，OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∵∠AED=45°=∠ACD，
∴A、C、E、D四点共圆，
∵∠ADC=90°，
∴AC为直径，O为圆心，
∴OE=OC=2$\sqrt{2}$，
∴PE=OE-OP═2$\sqrt{2}$-2，
即线段PE的最小值是2$\sqrt{2}$-2；
故答案为：2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了点与圆的位置关系、正方形的性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．