Question

4．已知抛物线y=x²-2bx+c
（1）若抛物线的顶点坐标为（2，-3），求b，c的值；
（2）若b+c=0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由；
（3）若c=b+2且抛物线在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到抛物线为y=（x-2）²-3，整理成一般式即可求得b，c的值；
（2）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解；
（3）求得函数的对称轴是x=b，然后分成b≤-2，-2＜b＜2和b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2bx+c
∴a=1，
∵抛物线的顶点坐标为（2，-3），
∴y=（x-2）²-3，
∵y=（x-2）²-3=x²-4x+1，
∴b=2，c=1；

（2）由y=1得 x²-2bx+c=1，
∴x²-2bx+c-1=0
∵△=4b²+4b+4=（2b+1）²+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y=1；

（3）由c=b+2，则抛物线可化为y=x²-2bx+b+2，其对称轴为x=b，
①当x=b≤-2时，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，此时
-3=（-2）²-2×（-2）b+b+2，解得b=-$\frac{9}{5}$，不合题意；
②当x=b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时
-3=2²-2×2b+b+2，解得b=3，
③当-2＜b＜2时，则$\frac{4（b+2）-4{b}^{2}}{4}$=-3，化简得：b²-b-5=0，解得：
b₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$（不合题意，舍去），b₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$．
综上：b=3或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．