Question

11．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．
（1）求线段EF的长；
（2）求四边形AFDE面积．

Answer 1

分析 （1）首先连接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出；
（2）由（1）知△AED≌△CFD，根据全等三角形的面积相等得出S_{四边形AFDE}=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）连接AD．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠FDC}\\{AD=CD}\\{∠EAD=∠C}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF=5． 
∵AB=AC，
∴BE=AF=12．
在Rt△AEF中，∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169，
∴EF=13；

（2）由（1）知△AED≌△CFD，
所以S_{四边形AFDE}=S_△AFD+S_△AED
=S_△AFD+S_△CFD
=S_△ADC
=$\frac{1}{2}$S_△ABC
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB²
=$\frac{1}{4}$（12+5）²
=$\frac{289}{4}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，本题中求证△ADE≌△CDF是解题的关键．