Question

11．如图，在△ABC中，5AB=6AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则$\frac{AG}{FD}$的值为$\frac{10}{7}$．

Answer 1

分析 利用角平分线的性质，得到BD=$\frac{6}{5}$CD，延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD=BD=KD=$\frac{6}{5}$CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；由MN∥AD，列出比例式，求出$\frac{AG}{FD}$的值．

解答 解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵$\frac{BD}{CD}$=$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•h}{\frac{1}{2}AC•h}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{5}$，
∴BD=$\frac{6}{5}$CD．
如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠BAD=∠MAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=$\frac{6}{5}$CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴$\frac{CK}{CD}$=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{1}{5}$，
∴CK=$\frac{1}{5}$CD，
∴KD=$\frac{6}{5}$CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=5CM，
∴$\frac{AH}{MH}$=$\frac{5}{7}$．
∵MN∥AD，
∴$\frac{AG}{MN}$=$\frac{AH}{MH}$，即$\frac{AG}{2FD}$=$\frac{5}{7}$，
∴$\frac{AG}{FD}$=$\frac{10}{7}$．
故答案为$\frac{10}{7}$．

点评 本题考查了角平分线性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，作平行线构造相似三角形是解题的关键．