Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，点P为BC的中点，点E、F分别为边AB、AC上的点，若∠EPF=45°，∠FEP=60°，则CF=3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质求得∠B=∠C=45°；然后由三角形内角和定理、邻补角的定义求得∠BPE=∠CFP，证得△BPE∽△CFP；过点F作EM⊥EP于点M，设EM=a，求出FM=$\sqrt{3}$a、PM=$\sqrt{3}$a、FP=$\sqrt{6}$a，得$\frac{EP}{PF}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，再利用相似三角形对应边成比例可得CF长．

解答 解：如图，

∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∴∠2+∠3=135°．
又∵∠EPF=45°
∴∠1+∠3=135°
∴∠1=∠2，
∴△BPE∽△CFP．
过点F作EM⊥EP于点M，设EM=a．
在Rt△EMF中，∵∠FEP=60°，
∴FM=$\sqrt{3}$a，
在Rt△FMP中，得到PM=$\sqrt{3}$a，FP=$\sqrt{6}$a，
则$\frac{EP}{PF}=\frac{a+\sqrt{3}a}{\sqrt{6}a}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
∵△BPE∽△CFP，
∴$\frac{BP}{CF}=\frac{EP}{PF}$，即$\frac{\sqrt{2}}{CF}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
解得：CF=3-$\sqrt{3}$．
故答案为：3-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，利用三角形相似性质求CF的长是切入点，通过以已知60°角为内角构建直角三角形以表示出两三角形对应边长度比是解题的关键．