如图.在平面直角坐标系中.Rt△ABC的三个顶点分别是A.∠ABC=α°．抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c经过点C.且对称轴为x=-$\frac{4}{5}$.并与y轴交于点G．(1)求抛物线的解析式及点G的坐标,(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位.使B点移到点E.然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF．若点F恰好落在抛物线上．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-8，3），B（-4，0），C（-4，3），∠ABC=α°．抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点C，且对称轴为x=-$\frac{4}{5}$，并与y轴交于点G．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF．若点F恰好落在抛物线上．
①求m的值；
②连接CG交x轴于点H，连接FG，过B作BP∥FG，交CG于点P，求证：PH=GH．

分析（1）把点C坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得一方程，利用对称轴公式得另一方程，组成方程组求出解析式，并求出G点的坐标；
（2）①作辅助线，构建直角△DEF斜边上的高FM，利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标，根据点F在抛物线上，列方程求出m的值；
②F点和G点坐标已知，可以求出直线FG的方程，那么FG和x轴的交点坐标（设为Q）可以知道，C点坐标已知，CG的方程也可以求出，那么H点坐标可以求出，可以证明△BPH和△QGH全等．

解答解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+c=3}\\{-\frac{b}{2×\frac{1}{2}}=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{5}}\\{c=-\frac{9}{5}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{4}{5}$x$-\frac{9}{5}$，点G（0，-$\frac{9}{5}$）；

（2）①∵B（-4，0），C（-4，3），
∴BC⊥x轴，
∵将三角形ABC平移后绕点E顺时针旋转α°得到△DEF，即AB旋转到BC的位置，
∴DE⊥x轴，
过F作FM⊥y轴，交DE于M，交y轴于N，
由题意可知：AC=4，BC=3，则AB=5，FM=$\frac{12}{5}$，
∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，
∴E（-4+m，0），OE=MN=4-m，FN=$\frac{12}{5}$-（4-m）=m-$\frac{8}{5}$，
在Rt△FME中，由勾股定理得：EM=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴F（m-$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∵F抛物线上，
∴$\frac{9}{5}$=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{4}{5}$（m-$\frac{8}{5}$）-$\frac{9}{5}$，
5m²-8m-36=0，
m₁=-2（舍），${m}_{2}=\frac{18}{5}$；

②F（$\frac{18}{5}-\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴F（2，$\frac{9}{5}$），
易求得FG的解析式为：y=$\frac{9}{5}$x-$\frac{9}{5}$，
CG解析式为：y=-$\frac{6}{5}$x-$\frac{9}{5}$，
∴$\frac{9}{5}$x-$\frac{9}{5}$=0，x=1，则Q（1，0），
-$\frac{6}{5}$x-$\frac{9}{5}$=0，x=-1.5，则H（-1.5，0），
∴BH=4-1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，
∴BH=QH，
∵BP∥FG，
∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，
∴△BPH≌△QGH，
∴PH=GH．