Question

15．如图，在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥BE．
（1）求证：AC=DE+BD；
（2）若AB=6cm，则△DBE的周长为6cm．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到DE﹦DC，等量代换即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=AC，根据等腰直角三角形的性质得到BE=DE，等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠C﹦90°，
∴AC⊥DC，
又DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DE﹦DC，
又∵BC﹦DC+BD，AC﹦BC，
∴AC﹦DE+BD；
（2）解：∵BC=AC=DE+BD，
在Rt△ACD与Rt△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC，
∵DE⊥AB，∠B=45°，
∴BE=DE，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=6cm．
故答案为：6cm．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练正确全等三角形的判定与性质是解题的关键．