Question

18．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（n，3），B（3，-1）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标带入反比例函数解析式中即可求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再将点A的坐标带入反比例函数解析式即可求出n值，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）观察两函数图象，结合点A、B的坐标，即可得出结论；
（3）由BC⊥x轴结合点B的坐标可得出BC的长度，再根据点A的坐标利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）将点B（3，-1）带入反比例函数解析式中，
得：-1=$\frac{m}{3}$，解得：m=-3，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{x}$；
∵点A（n，3）在反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象上，
∴3=-$\frac{3}{n}$，解得：n=-1，
即点A的坐标为（-1，3）．
将点A（-1，3），点B（3，-1）带入到一次函数解析式中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=-k+b}\\{-1=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y=-x+2．
（2）观察函数图象发现：当x＜-1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集为x＜-1或0＜x＜3．
（3）∵BC⊥x轴，B（3，-1），
∴BC=1，
∵A（-1，3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×1×4=2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）结合函数图象解不等式；（3）利用三角形的面积公式求出面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．