Question

15．计算S=$\frac{100}{97}$-$\frac{100×99}{97×96}$-$\frac{100×99×98}{97×96×95}$-…-$\frac{100×99×98×…×5×4}{97×96×95×…×2×1}$的值．

Answer 1

分析 把每一项的分子变为100×98×97，进一步提取因式，进一步拆分计算得出答案即可．

解答 解：原式=100×99×98×$\frac{1}{99×98×97}$+100×99×98×$\frac{1}{98×98×96}$+…+100×99×98×$\frac{1}{3×2×1}$
=100×99×98×（$\frac{1}{99×98×97}$+$\frac{1}{98×98×96}$+…+$\frac{1}{3×2×1}$）
=100×99×98×[（$\frac{1}{2×97}$+$\frac{1}{2×96}$+…+$\frac{1}{2×3}$）+（$\frac{1}{2×99}$+$\frac{1}{2×98}$+…+$\frac{1}{2×5}$）-（$\frac{1}{98}$+$\frac{1}{97}$+…+$\frac{1}{4}$）]
=100×99×98×[$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{2×99}$+$\frac{1}{2×98}$-$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{4}$]
=100×99×98×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{2}$）
=100×99×98×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{98}$）
=100×99×98×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{12}$+100×99×98×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{99}$-100×99×98×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{98}$
=40425+4900-4950
=40375．

点评 此题考查有理数的混合运算，根据数据特点，找出规律，综合运用运算技巧，灵活简算即可．