Question

如图，△ABC中，BC=80mm，AH=60mm，D在AB边上，E在AC上，DE∥BC以DE为边在△ABC内作矩形DEFG，设DE=x，DG=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，矩形DEFG的面积是1200mm²？
（3）当x取何值时，矩形DEFG的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）设高AH交DE于K，由矩形的性质可知：DE∥BC，进而可证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系式；
（2）利用矩形的面积公式可知：x•y=1200，由（1）可知x和y的关系，进而得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）根据矩形的面积公式得出S与x的函数关系式，求出S的最大值即可．

解答：解：（1）设高AH交DE于K，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AK：AH=DE：BC，
∵DE=x，DG=y，
∴KH=y，即AK=AH-KH，
∴y=-

3

4

x+60；

（2）∵x•y=1200，y=-

3

4

x+60，
∴-

3

4

x²+60x=1200，
解得：x₁=x₂=40，
答：当x=40mm时，矩形DEFG的面积是1200mm²；

（3）∵S=x•y，y=-

3

4

x+60，
∴S=-

3

4

x²+60x，
∴当x=-

60

2×(- 3 4 )

=40时，S_最大=

4×(- 3 4 )×60

4×(- 3 4 )

=

-602

4×(- 3 4 )

=1200mm²．
答：当x=40mm时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为1200mm²．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．