Question

13．如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，F为BC上一点，∠ADB=∠FDC，试判断AF与BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 作AG平分∠BAC，交BD于点M，首先证明△AMD≌△CFD，进而得出△BAM≌△CAF，从而证明AF⊥BD．

解答 证明：如图，作AG平分∠BAC，交BD于点M，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠DAM=∠3=∠DCF=45°，
∵D为AC中点，
∴DC=DA，
在△AMD和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠DCF}\\{DC=DA}\\{∠ADB=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CFD（ASA），
∴AM=CF，
在△BAM和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CF}\\{∠C=∠3}\\{AC=BA}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠AED=90°，
即AF⊥BD．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．对条件充分认识和对知识点的系统利用，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．