Question

2．如图，二次函数y=-x²+ax+b的图象与x轴交于A（-$\frac{1}{2}$，O），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可确定抛物线的解析式；
（2）由抛物线的解析式得到C点坐标，进而可求出AC、BC、AB的长，然后再判断△ABC的形状．

解答 解：（1）由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+b=0}\\{-4+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1；
（2）∵y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
∴C（0，1）；
∴AC²=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，BC²=1+4=5，AB²=（2+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{25}{4}$；
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题主要考查了待定系数法求函数表达式和勾股定理逆定理，求出函数表达式是解决问题的关键．