Question

如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点，连接BG、CG、PG．
（1）△ABP以点B为旋转中心旋转了

 

度；
（2）求出PG的长度；
（3）以点G为圆心，r为半径作⊙G：
①当半径r满足

 

时，⊙G与边PC只有一个交点；
②当半径r满足

 

时，⊙G与边PC有两个交点；
③当半径r满足

 

时，⊙G与边PC没有交点．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）根据正方形性质和旋转的性质得出即可；
（2）先根据旋转得出直角三角形，再根据勾股定理求出即可；
（3）先求出三角形PGC的高GE的长，再根据直线和圆的位置关系得出即可．

解答：解：（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合，
∴△ABP以点B为旋转中心旋转了90°，
故答案为：90；

（2）∵△ABP绕B顺时针旋转90°到△BGC，
∴∠PBG=90°，BP=BG=2，AP=CG=1，
∴由勾股定理得：PG=

22+22

=2

2

；

（3）过G作GE⊥PC于E，
∵PC=3，PG=2

2

，CG=1，
∴PC²=PG²+CG²，
∴∠PGC=90°，
根据三角形的面积公式得：PC×DE=PG×CG，
∴3×DE=2

2

×1，
∴DE=

2 2

3

，
∵PG=2

2

，CG=1，
∴①当半径r=

2 2

3

或1时，⊙G与边PC只有一个交点；
②当半径r满足

2 2

3

＜r≤1时，⊙G与边PC有两个交点；
③当半径r满足r＜

2 2

3

或r＞2

2

时，⊙G与边PC没有交点；
故答案为：=

2 2

3

或2

2

，

2 2

3

＜r≤1，r＜

2 2

3

或r＞2

2

．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，正方形的性质，三角形的面积，旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，题目综合性比较强，难度偏大．