Question

6．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：BD=AE．
（2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质，证明△ACE≌△BCD，即可解答；
（2）由AD=5，AB=17，求得BD=17-5=12，根据△ABC是等腰直角三角形，得到∠B=45°，由（1）可知△ACE≌△BCD，得到∠EAC=∠B=45°，AE=BD=7，
进而∠EAD=90°，根据勾股定理即可解答．

解答 解：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE．
（2）∵AD=5，AB=17，
∴BD=17-5=12，
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠B=45°由（1）可知△ACE≌△BCD
∴∠EAC=∠B=45°，AE=BD=7，
∴∠EAD=90°，
∴ED=$\sqrt{A{E^2}+A{D^2}}=\sqrt{{{12}^2}+{5^2}}=13$．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD．